Ένα νέο είδος τάξης

Με βάση το παράδειγμα της Νευτώνειας φυσικής και χρησιμοποιώντας το πανίσχυρο εργαλείο των διαφορικών εξισώσεων κατέστη δυνατό να μοντελοποιηθούν φαινόμενα απ’ όλο το φάσμα των επιστημών. Αυτό δημιούργησε την εικόνα, κυρίως κατά το 19ο και τις αρχές του 20ού αιώνα, ενός καθαρά μηχανιστικού κόσμου, όπου τα πάντα είναι προβλέψιμα, με επιπτώσεις ακόμα και στη φιλοσοφική αντίληψη του κόσμου. Δημιουργήθηκε η εικόνα ενός σύμπαντος που λειτουργεί με απόλυτη τάξη όπου η παρούσα κατάσταση είναι απλώς μια συνέπεια της προγενέστερης κατάστασης και η αιτία της κατάστασης που θα ακολουθήσει. 

Η επιτυχία αυτών των υπολογισμών στην πρόβλεψη της θέσεως ενός σώματος για μεγάλα χρονικά διαστήματα απετέλεσε τον θρίαμβο της αιτιοκρατίας. Εφόσον η εξέλιξη ενός φαινομένου που διέπεται από καθαρά αιτιοκρατικούς νόμους, όπως είναι οι νόμοι του Νεύτωνα, έχει κατανοηθεί πλήρως και μπορεί να προβλεφθεί, εισήχθη με τον τρόπο αυτό στην επιστήμη η έννοια του ντετερμινισμού και ταυτόχρονα επικράτησε η πεποίθηση ότι οι όροι ντετερμινισμός και προβλεψιμότητα είναι ισοδύναμοι.


Ντετερμινισμός ή αιτιοκρατία είναι η θεωρία που ισχυρίζεται πως οτιδήποτε συμβαίνει στο σύμπαν καθορίζεται επακριβώς από πρότερες συνθήκες. Αν αυτή η θεωρία είναι σωστή, τότε οτιδήποτε συμβαίνει στο σύμπαν, είτε ανήκει στο παρελθόν, είτε στο παρόν είτε στο μέλλον, είναι κατ’ αρχήν παραγωγικά εξηγήσιμο.


Δεν υπάρχουν ανεξήγητα ή τυχαία γεγονότα. Η κατ’ εξοχήν διατύπωση του ντετερμινιστικού δόγματος που στηριζόταν στην μαθηματική ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού και που αναφέρεται πιο συχνά είναι αυτή που προέρχεται από το έργο του Λαπλάς «Αναλυτική Θεωρία των Πιθανοτήτων», η οποία αποτέλεσε το σύμβολο μιας ολόκληρης εποχής και αποκαλείται διάνοια ή δαίμονας του Λαπλάς έχει ως εξής: Αν υπήρχε μια διάνοια που να διαθέτει τη γνώση του συνόλου των δυνάμεων που κυβερνούν τη φύση, καθώς και της αντίστοιχης κατάστασης των όντων που την απαρτίζουν, μια διάνοια τέτοιου μεγέθους που να είναι σε θέση να υποβάλλει όλα αυτά τα δεδομένα σε ανάλυση, τότε θα μπορούσε να συμπεριλάβει μέσα στον ίδιο μαθηματικό τύπο τόσο την κίνηση των μεγαλύτερων σωμάτων του σύμπαντος όσο και αυτή των μικρότατων ατόμων. Για μια τέτοια διάνοια τίποτα δεν θα ήταν αβέβαιο, το μέλλον αλλά και το παρελθόν, θα ξανοιγόταν ολοκάθαρα μπροστά στα μάτια της (Λαπλάς, 1814/1951).

il_fullxfull.247302193.jpg

Το 1927 ο Werner Heisenberg διατύπωσε την περίφημη αρχή της απροσδιοριστίας (indeterminacy principle) ή αρχή της αβεβαιότητας (uncertainty principle). Σύμφωνα με την αρχή αυτή είναι αδύνατο να μετρήσουμε με απεριόριστη ακρίβεια, τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου ταυτόχρονα. Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα Δx και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα Δp, τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό, δηλαδή:

1.JPG

όπου h είναι η μειωμένη σταθερά του Planck (δηλαδή η σταθερά του Planck διαιρούμενη με το 2π). Η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των Δx και Δp δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από την δομή της ύλης και η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης.

Πιο συγκεκριμένα, για να μπορέσουμε να προβλέψουμε τη μελλοντική θέση και ταχύτητα ενός σωματιδίου πρέπει να μπορούμε να μετρήσουμε επακριβώς την τωρινή του θέση και ταχύτητα. Για να το επιτύχουμε αυτό είναι απαραίτητο να φωτίσουμε το σωματίδιο. Κάποια από τα κύματα του φωτός θα ανακλαστούν πάνω του και θα υποδείξουν το σημείο όπου βρίσκεται. Δεν θα μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε τη θέση του με μεγαλύτερη προσέγγιση από την απόσταση μεταξύ των κορυφών των κυμάτων του φωτός που χρησιμοποιούμε. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι, για να μετρήσουμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια τη θέση ενός σωματιδίου, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε φως με πολύ μικρό μήκος κύματος (δηλαδή με πολύ μικρή απόσταση μεταξύ των κορυφών των κυμάτων). Αλλά από την υπόθεση των κβάντων του Plank προκύπτει ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οσοδήποτε μικρή ποσότητα φωτός. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τουλάχιστον ένα κβάντο. Αυτό το κβάντο θα προκαλέσει μια απρόβλεπτη διαταραχή στη θέση και την ταχύτητα του σωματιδίου. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η απαιτούμενη ακρίβεια μέτρησης της θέσης του σωματιδίου τόσο μικρότερο είναι το μήκος κύματος του φωτός που χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε και τόσο μεγαλύτερη η ενέργεια του κβάντου και κατά συνέπεια η ταχύτητα του σωματιδίου θα υποστεί ακόμη μεγαλύτερη διαταραχή. Με άλλα λόγια, όσο πιο μεγάλη είναι η ακρίβεια με την οποία προσπαθούμε να μετρήσουμε τη θέση του σωματιδίου τόσο πιο μικρή είναι η ακρίβεια με την οποία μπορούμε να μετρήσουμε την ταχύτητά του και αντίστροφα.


Η αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ είναι θεμελιώδης, αναπόδραστη, χαρακτηριστική ιδιότητα του κόσμου (Hawking, 1996).


Τώρα σχετικά με τα δυναμικά συστήματα. Είναι τα φυσικά φαινόμενα ή οι διεργασίες εκείνες που περιγράφονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφορών, των οποίων η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος. (Μπούντης, 1995). Για τα συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχει αναπτυχθεί ολόκληρη θεωρία και επιτεύχθηκε η πλήρης επίλυσή τους. Δυστυχώς, ακόμη και σήμερα δεν υπάρχει καμιά γενική θεωρία, αντίστοιχη με εκείνη των γραμμικών, που να μας επιτρέπει να λύνουμε αναλυτικά συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η διερεύνηση της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων έχει τοπικό χαρακτήρα, μια που τις περισσότερες φορές η εύρεση γενικής λύσης του συστήματος είναι αδύνατη. Το ενδιαφέρον μιας τέτοιας διερεύνησης, εστιάζεται στη μελέτη των σημείων ισορροπίας, στην περιοχή των οποίων διενεργείται γραμμικοποίηση του συστήματος. Για τον καθορισμό της κατάστασης του συστήματος στο απώτερο μέλλον απαιτείται η διαδοχική επανάληψη του υπολογισμού που προκύπτει από τις σχέσεις του συστήματος πολλές φορές, όπου κάθε φορά δίνεται ένας χρόνος προώθησης, ένα μικρό βήμα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται αριθμητική επίλυση του συστήματος και απαιτεί πάρα πολλούς υπολογισμούς, αλλά με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών απέδωσε εξαιρετικά αποτελέσματα. Λαμβάνοντας υπόψη ένα αρχικό σημείο είναι δυνατό με τη μέθοδο αυτή να καθοριστούν όλα τα μελλοντικά σημεία του, η τροχιά δηλαδή του σημείου. Το πιο σημαντικό ίσως ερώτημα στα δυναμικά συστήματα είναι ποια είναι η συμπεριφορά των λύσεών τους καθώς ο χρόνος t τείνει στο άπειρο, πού καταλήγουν δηλαδή οι τροχιές, από οποιοδήποτε σημείο αφετηρίας. Ανάλογα με την αρχική συνθήκη, οι τροχιές έλκονται από ένα σημείο ή σύνολο σημείων ή διαφεύγουν στο άπειρο. Το σύνολο των σημείων που έλκει έναν αριθμό τροχιών ονομάζεται ελκυστής.

Μέσα στον ενθουσιασμό και την ευφορία που προκάλεσαν οι εντυπωσιακές ανακαλύψεις και εφαρμογές των πανίσχυρων αυτών μαθηματικών εργαλείων, µια μικρή ανησυχητική λεπτομέρεια φαίνεται ότι πέρασε στο περιθώριο: Οι περισσότερες διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ρεαλιστικά τα ως άνω φυσικά φαινόμενα είναι µη γραµµικές και επομένως πολύ δύσκολο έως αδύνατο να επιλυθούν αναλυτικά εκτός από ελάχιστες εξαιρετικές περιπτώσεις. Για το λόγο αυτό, οι επιστήμονες αναγκαζόντουσαν να καταφύγουν σε γραµµικοποιήσεις και σημαντικές απλουστεύσεις των προβλημάτων τους, οι οποίες μπορούσαν να δώσουν ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Η αναγκαιότητα της αντιμετώπισης µη επιλύσιμων εξισώσεων δεν είχε προκύψει ακόμα. Δεν πρέπει να μας εκπλήσσει το γεγονός ότι για σχεδόν τρεις αιώνες δε σημειώθηκε οποιαδήποτε σημαντική πρόοδο στην αντιμετώπιση των δύσκολων αυτών προβλημάτων. Η επίλυση με χρήση γνωστών μαθηματικών συναρτήσεων, αποκάλυπτε μόνο κανονική και ομαλή συμπεριφορά και η πίστη του ανθρώπου στην αιτιοκρατία και την προβλεψιμότητα εδραιωνόταν όλο και περισσότερο (Μπούντης, 1995).

Μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές για μεγαλύτερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς. Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854-1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνειας μηχανικής, και να συντελέσει στη γέννηση ενός νέου επιστημονικού κλάδου, της επιστήμης των δυναμικών συστημάτων και του χάους. Σε αυτόν αποδίδεται η αρχική σύλληψη της έννοιας του αιτιοκρατικού χάους όπως το εννοούμε σήμερα και θα αναλυθεί στη συνέχεια, μολονότι η έννοια αυτή δεν έγινε πλήρως κατανοητή παρά περίπου ένα αιώνα αργότερα.

Η ανακάλυψη αυτή έγινε με αφορμή ένα διαγωνισμό που προκήρυξε το 1889 ο βασιλιάς της Σουηδίας και της Νορβηγίας Όσκαρ ο Δεύτερος για την καλύτερη εργασία που αφορούσε στη σταθερότητα του ηλιακού μας συστήματος και το πρόβλημα των τριών σωμάτων. Νικητής αναδείχθηκε ο Ανρύ Πουανκαρέ, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού, υποβάλλοντας μια εργασία γεμάτη πρωτοποριακές ιδέες. Ο Πουανκαρέ εργάστηκε στα πλαίσια του μαθηματικού φορμαλισμού των συστημάτων των διαφορικών εξισώσεων που είχε επικρατήσει από την εποχή του Νεύτωνα με τόσο σημαντικά αποτελέσματα.

Για να αντιμετωπίσει τη μεγάλη δυσκολία του προβλήματος υπέθεσε ότι υπάρχουν μόνο 3 σώματα που κινούνται σε ένα επίπεδο (και όχι στον τρισδιάστατο χώρο). Τα δύο έχουν μεγάλη μάζα και το τρίτο έχει απειροελάχιστα μικρή μάζα, αμελητέα σε σχέση με τα άλλα δύο, όπως για παράδειγμα δύο αστέρια και ένας αστεροειδής. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ακόμη ότι οι αρχικές συνθήκες, οι θέσεις δηλαδή και οι ταχύτητες των δύο άστρων ήταν τέτοιες ώστε αυτά να κινούνται με σταθερή ταχύτητα σε ελλείψεις γύρω από το κέντρο της μάζας τους. Η εικόνα του συστήματος των τριών σωμάτων παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα:

1.JPG

Στην εικόνα αυτή υποθέτουμε ότι κοιτάμε τα δύο άστρα από ψηλά, πάνω από το επίπεδο που κινούνται, περιστρεφόμενοι και εμείς μαζί τους έτσι ώστε να εμφανίζονται σταθερά. Στο αριστερό άκρο της ευθείας γραμμής βρίσκεται το σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα και στο δεξί άκρο το δεύτερο μεγάλο σώμα, με μάζα όμως μικρότερη από την πρώτη. Στη συγκεκριμένη τροχιά, το μικροσκοπικό σώμα κινείται μπρος και πίσω ανάμεσα στα δύο μεγαλύτερα σώματα για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα και αποκτά μεγάλη ταχύτητα καθώς τελικά ξεφεύγει προς τα δεξιά, έτσι ώστε να μην επιστρέψει πάλι. Αν χρησιμοποιήσουμε μια διαφορετική αρχική θέση του αστεροειδούς, αυτός παραμένει για πάντα άλλες φορές κοντά στο μεγάλο άστρο και άλλες κοντά στο μεσαίο. Μια απειροελάχιστη αλλαγή στην αρχική θέση ή ταχύτητα του αστεροειδούς μας δίνει σαν αποτέλεσμα μια τελείως διαφορετική τροχιά. Ως συνέπεια είναι αδύνατο να προβλεφθεί η τροχιά του αστεροειδούς, παρότι το φαινόμενο είναι πλήρως ντετερμινιστικό και οι νόμοι που το διέπουν έχουν πλήρως διατυπωθεί και μάλιστα με μαθηματικό τρόπο. Ο Poincare, στη μαθηματική ανάλυση που έκανε απέδειξε ότι δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων (Peterson, 1993), μολονότι αυτή είναι ντετερμινιστικά προκαθορισμένη και περιγράφεται πλήρως από μαθηματικές εξισώσεις. Το πρόβλημα των τριών σωμάτων, η πρόβλεψη της τροχιάς τους δηλαδή ήταν και παραμένει άλυτο. Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος.

Είχε κατανοήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι’ αυτό και διατύπωσε την άποψη ότι μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα. Το σύστημα αυτό, κατά συνέπεια, διαθέτει την ιδιότητα που πολύ αργότερα ονομάστηκε ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, ιδιότητα που πρώτος ο Ανρύ Πουανκαρέ συνέλαβε και μάλιστα χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών, οι οποίοι δεν είχαν ανακαλυφθεί την εποχή εκείνη. Χρειάστηκε όμως να περάσουν περίπου 80 χρόνια τότε για να γίνει κατανοητή πλήρως από την επιστημονική κοινότητα η σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Αυτό συνέβη όμως και με τον επόμενο μεγάλο σταθμό στην ανάπτυξη της επιστήμης του χάους, την ανακάλυψη του πρώτου χαοτικού ελκυστή και της χαοτικής κίνησης από το μετεωρολόγο Edward Lorenz στη δεκαετία του 1960 στο ΜΙΤ.

Πρώτος ανακάλυψε την αδυναμία για μακροπρόθεσμη πρόβλεψη στα ντετερμινιστικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούσαν την εξέλιξη του καιρού, ο μετεωρολόγος Edward Lorenz. Το 1963, δημοσιεύτηκε ένα άρθρο του με τίτλο «Ντετερμινιστική, μη Περιοδική Ροή» (Deterministic, non Periodic Flow), σε ένα όχι τόσο σημαντικό μετεωρολογικό περιοδικό, το Journal of Atmospheric Sciences.

Ο Lorenz είχε δημιουργήσει ένα μοντέλο για να προσομοιώσει την εξέλιξη του καιρού, σε ένα πρωτόγονο ηλεκτρονικό υπολογιστή εκείνης της εποχής. Μετά από αρκετές δοκιμές είχε καταλήξει σε ένα σύστημα 12 διαφορικών εξισώσεων που εξέφραζαν τις σχέσεις ανάμεσα στις μεταβλητές από τις οποίες εξαρτάται η εξέλιξη του καιρού όπως η θερμοκρασία, η πίεση, η ταχύτητα του ανέμου κ.α. Χρησιμοποιώντας την αριθμητική μέθοδο επίλυσης του συστήματος, κάθε ένα λεπτό εργασίας ο υπολογιστής τύπωνε μια σειρά αριθμούς, οι οποίοι αντιστοιχούσαν στην εξέλιξη του καιρού μιας ολόκληρης μέρας. Η εξέλιξη του καιρού, με τον τρόπο αυτό, ήταν ντετερμινιστικά προδιαγεγραμμένη από τις διαφορικές εξισώσεις και την αρχική συνθήκη. Όποιος μπορούσε να καταλάβει τις σελίδες εκείνες θα μπορούσε να δει για παράδειγμα ένα (ψηφιακό) δυτικό άνεμο να στρέφεται από το νότο προς το βορρά ή ένα (ψηφιακό) κυκλώνα να περιστρέφεται αργά γύρω από μια ιδεατή υδρόγειο (Gleick,1987).

Κάποια μέρα ο Lorenz, θέλοντας να εκτυπώσει μια ακολουθία της εξέλιξης του καιρού που να έχει μεγαλύτερο μήκος αντί να αρχίσει από την αρχή, άρχισε από τη μέση των υπολογισμών της προηγούμενης μέρας. Πληκτρολόγησε τους αριθμούς κατευθείαν από την προηγούμενη τυπωμένη σελίδα και πήγε να πιει ένα καφέ ώσπου να τελειώσει ο υπολογιστής τις εκτυπώσεις του. Όταν γύρισε μια ώρα αργότερα, είδε κάτι απρόσμενο, κάτι που έριχνε το σπόρο μιας νέας επιστήμης (Gleick,1987). Η καινούργια εκτέλεση, που κανονικά έπρεπε να είναι ίδια με την παλιά, διέφερε από κάποιο σημείο και μετά εντελώς, ώστε ο (ψηφιακός) καιρός έπειτα από λίγους μήνες είχε χάσει κάθε ομοιότητα με αυτόν που είχε υπολογίσει ο υπολογιστής την προηγούμενη μέρα

1.png

Στην εικόνα φαίνεται μια εκτύπωση που πήρε ο Lorenz το 1961. Από το ίδιο σχεδόν σημείο εκκίνησης ο Lorenz είδε τον καιρό που έδινε ο υπολογιστής να δημιουργεί σχήματα που εξελίσσονταν όλο και πιο διαφορετικά μέχρι που κάθε ομοιότητα εξαφανίστηκε (Gleick,1987).

Η απόκλιση των αποτελεσμάτων οφειλόταν στο γεγονός ότι τα νούμερα που ξανα-εισήγαγε “με το χέρι” ο Lorenz είχαν μικρότερη ακρίβεια (λιγότερα δεκαδικά ψηφία) από εκείνα που εσωτερικά αποθήκευε ο υπολογιστής.

Στη συνέχεια ο Lorenz απλοποίησε το μοντέλο του, κατασκευάζοντας ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που να ανήκει στο χώρο των τριών διαστάσεων και όχι των δώδεκα. Μολονότι τρισδιάστατο διατηρεί την πολύπλοκη συμπεριφορά του αρχικού με τις δώδεκα εξισώσεις, γεγονός που οφείλεται στη μη γραμμικότητά του. Το κλασικό μοντέλο, που συνήθως αποκαλείται σύστημα των εξισώσεων του Lorenz και αναλύεται στο άρθρο του 1963, είναι το εξής:

dx/dt=10(y-x)

dy/dt=xz+28x-y

dz/dt=xy-(8/3)z

Παρατηρούμε ότι αποτελείται από τρεις διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν δύο μη γραμμικούς όρους (τους xz και xy) και μοντελοποιούσαν ρεύματα μεταφοράς θερμότητας μέσα σε ένα ρευστό. Στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζεται ένα μέρος της τροχιάς της λύσης, που σήμερα ονομάζεται Ελκυστής του Lorenz.

1.png

Ο Ελκυστής του Lorenz. Κάθε τροχιά, παρότι κινείται μέσα σε μια φραγμένη περιοχή του χώρου, συνεχίζει την κίνησή της επ’ άπειρον (δεν τερματίζει ποτέ!) δημιουργώντας βρόγχους και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της, άρα κανένα τμήμα της δεν επαναλαμβάνεται. Εμφανίζει δηλαδή ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας.

Η παραπάνω εικόνα αυτή έγινε το σύμβολο της επιστήμης του χάους. Αποκαλύπτει τη μικροσκοπική δομή που ήταν κρυμμένη μέσα σε μια άτακτη ροή δεδομένων. Η τροχιά αυτή προσδιορίζεται με τη μέθοδο της αριθμητικής επίλυσης και αποτελεί μέρος του ελκυστή του Lorenz. Είναι η απεικόνιση μιας λύσης του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων με τις τρείς μεταβλητές για μια δεδομένη αρχική συνθήκη. Κάθε στιγμή οι τρείς μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου παριστάνει την εξέλιξη του συστήματος στο χρόνο. Η τροχιά του σημείου έχει σχεδιαστεί για ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα και μοιάζει με πεταλούδα ή σαν ένα είδος διπλής έλικας. Ολόκληρος ο ελκυστής είναι αδύνατο να σχεδιαστεί μιας και οποιαδήποτε τροχιά είναι άπειρη, δηλαδή δεν τερματίζει κάπου, σε ένα σημείο δηλαδή ή σε μια περιοδική κίνηση. Παρότι οι τροχιές κινούνται επ’ άπειρον στο χώρο των τριών διαστάσεων, παραμένουν παγιδευμένες σε μια πεπερασμένη περιοχή και “κουλουριάζονται” χωρίς ποτέ να τέμνουν η μία την άλλη ή να κλείνουν, να επαναλαμβάνονται δηλαδή περιοδικά. Η κίνηση αυτή συνεχίζει να δημιουργεί βρόγχους επ’ άπειρον μέσα σε μια φραγμένη περιοχή του χώρου αλλά κανένα τμήμα της δεν επαναλαμβάνεται και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της, εμφανίζει δηλαδή ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα περιστρέφεται δύο φορές αριστερά, μετά τρεις δεξιά, μετά δέκα αριστερά, μία δεξιά κλπ. Η ακολουθία των αριθμών που παράγει την τροχιά δεν επαναλαμβάνεται ποτέ, πρόκειται για καθαρή αταξία αλλά ταυτόχρονα αποτελεί και ένα νέο είδος τάξης. Όλες οι τροχιές, μετά από αρκετό χρόνο, συγκεντρώνονται τελικά σε μια περιοχή που αποτελεί τον ελκυστή του συστήματος. Δεν πρόκειται όμως για κανονικό ελκυστή που να ανήκει σε οποιοδήποτε είδος από αυτά που περιγράφηκαν σε προηγούμενη παράγραφο. Το γεωμετρικό αυτό σύνολο δεν έχει καμιά από τις συνήθεις ιδιότητες και αργότερα το είδος αυτού του ελκυστή ονομάστηκε από τους David Ruelle και Floris Takens παράξενος ελκυστής και είναι μορφοκλασματικό σύνολο ή αλλιώς σύνολο φράκταλ.

Ο όρος φράκταλ προτάθηκε από τον Benoît Mandelbrot το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει “σπασμένος”, “κατακερματισμένος”. Με τον όρο φράκταλ ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης και συχνά αναφέρεται ως απείρως πολύπλοκο. Το φράκταλ παρουσιάζεται ως “μαγική εικόνα” που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα και κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια ενός κύκλου, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται ως ευθύγραμμο τμήμα. Αντίθετα, σε ένα σχήμα φράκταλ, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης και η πολυπλοκότητα θα παρέμενε η ίδια. Φράκταλ απαντώνται και στη φύση όπως για παράδειγμα οι νιφάδες του χιονιού, τα φύλλα των φυτών, οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων, τα σύννεφα κ.α., χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση, όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις, όπως δεν απαντώνται στη φύση ακριβώς και τα γεωμετρικά στερεά (πχ. ο κύβος, η σφαίρα κλπ.)

Εκτός από την απείρως πολύπλοκη αυτή γεωμετρική δομή όμως, ο ελκυστής του Lorenz επιδεικνύει και την ιδιότητα της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες ή αλλιώς φαινόμενο της πεταλούδας.

Η Επιστήμη των Δυναμικών Συστημάτων και του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες παρουσιάζουν ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες.

Η ευαισθησία αυτή έχει ως αποτέλεσμα την φαινομενική τυχαιότητα της παρατηρούμενης συμπεριφοράς των συστημάτων, παρόλο που τα συστήματα αυτά είναι αιτιοκρατικά (ντετερμινιστικά), με την έννοια ότι είναι καλώς ορισμένοι οι νόμοι εξέλιξής τους και δεν περιέχουν τυχαίες παραμέτρους, ενώ είναι μη προβλέψιμα. Στα συστήματα αυτού του είδους περιλαμβάνονται η ατμόσφαιρα, το ηλιακό σύστημα, οι τεκτονικές πλάκες, τα οικονομικά συστήματα και η εξέλιξη (μεταβολή) των πληθυσμών κα.

Η έλλειψη προβλεψιμότητας δεν οφείλεται σε ανεπάρκεια της μαθηματικής περιγραφής των φαινομένων ή σε ελλιπή γνώση των φυσικών νόμων που τα διέπουν αλλά απορρέει κατά κύριο λόγο από το γεγονός ότι τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα περιγράφονται από εξισώσεις που είναι μη γραμμικές και περιέχουν πολλές μεταβλητές που εξαρτώνται η μία από την άλλη με ιδιαίτερα περίπλοκο τρόπο. Τέτοια μη γραμμικά συστήματα διαθέτουν, για πολλές τιμές των παραμέτρων τους, μεγάλες περιοχές στις οποίες η κίνηση εξαρτάται εξαιρετικά ευαίσθητα από την επιλογή των αρχικών συνθηκών.

Βιβλιογραφία:

Alligood, K. T., Sauer, T. D. & Yorke, J. A. (2000). Chaos, an Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag.

Θεοδωρίδης, Χ. (1955). Εισαγωγή στη Φιλοσοφία. Αθήνα: Βιβλιοπωλείο της Εστίας.

Ekeland, I. (1995). Le Chaos. Paris: Flammarion.

Gleick, J. (1990). Χάος, Μια Νέα Επιστήμη. Εκδ. Κάτοπτρο: Αθήνα. (Viking Penguin, New York, 1987).

Hawking, S. (1996). Το Χρονικό του Χρόνου. Εκδόσεις Κάτοπτρο: Αθήνα.

Laplace, P.S. (1814/1951). A philosophical Essay on Probabilities. Translated by Frederick Wilson Truscott and Frederick Lincoln Emory. New York: Dover.

Μπούντης, Α. (1995). ∆υναµικά Συστήµατα και Χάος. Τόµος Α΄. Εκδ. Γ. Παπασωτηρίου: Αθήνα.

Peitgen, H-O. Jurgens, H. & Saupe, D. (1992). Chaos and Fractals, New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag.

Peterson, I. (1993). Newton’s Clock: Chaos in the Solar System. New York: Freeman.

Advertisements

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s